Prime definizioni: segmenti e angoli¶

Semirette e segmenti¶

Nel paragrafo precedente abbiamo già introdotto alcune definizioni di base, necessarie per enunciare tutti i postulati della geometria secondo l’assiomatizzazione di Hilbert. In questo paragrafo costruiamo le prime definizioni. Per comodità del lettore riportiamo anche quelle già date.

Partiamo dalla nozione generica di figura.

DEFINIZIONE. Si chiama figura un qualsiasi insieme, non vuoto, di punti.

Questa definizione fa riferimento soltanto all’ente primitivo geometrico di punto.

Lo spazio non è considerato un ente primitivo, in quanto può essere ottenuto dalla seguente definizione.

DEFINIZIONE. Si chiama spazio l’insieme di tutti i punti.

Risulta pertanto che una figura è un qualsiasi sottoinsieme dello spazio.

In base agli assiomi di ordinamento un qualunque punto P su una retta divide la retta in due parti, una è costituita dai punti che ‘seguono’ P, l’altra è costituita dai punti che ‘precedono’ P.

DEFINIZIONE. Si chiama semiretta la parte di retta costituita da un punto di essa, detto origine della semiretta, e da tutti i punti che stanno dalla stessa parte rispetto all’origine.

Solitamente, la semiretta si indica con una lettera latina minuscola.

Prendendo due qualsiasi rette dello spazio esse si possono trovare in diverse posizioni reciproche, cioè una rispetto all’altra.

DEFINIZIONE. Due rette si dicono complanari se appartengono a uno stesso piano; se non appartengono a uno stesso piano si dicono sghembe.

Due rette complanari si dicono incidenti se hanno uno, e uno solo, punto in comune.

Due rette complanari che non hanno nessun punto in comune si dicono parallele.

Se due rette hanno almeno due punti in comune sono coincidenti.

Per indicare che le rette r e s sono parallele si usa il simbolo r//s.

Fai attenzione al fatto che due rette non parallele possono appartenere a piani diversi, in questo caso non avranno punti in comune, sono cioè sghembe. Viceversa se due rette hanno un punto in comune allora sono sicuramente complanari. Inoltre, se hanno più di un punto in comune le rette coincidono, in questo caso ci sono infiniti piani che le contengono.

DEFINIZIONE. L’insieme di tutte le rette di un piano che passano per uno stesso punto è detto fascio proprio di rette, il punto in comune a tutte le rette si dice centro del fascio.

Prendendo due punti su una retta, A e B, la retta resta divisa in tre parti: la semiretta di origine A che non contiene B, la parte costituita dai punti compresi tra A e B e la semiretta di origine B che non contiene A.

DEFINIZIONE. Si chiama segmento AB l’insieme dei punti A e B e di tutti quelli che stanno tra A e B.I punti A e B si dicono estremi del segmento.

I punti A e B formano le due semirette,* r* e* s*, e il segmento AB.

Un segmento viene indicato con le due lettere maiuscole dei suoi estremi.

Due segmenti nel piano possono trovarsi in diverse posizioni reciproche. Alcune di esse hanno un interesse per la geometria.

DEFINIZIONE. Due segmenti si dicono consecutivi se hanno in comune soltanto un estremo.

I segmenti AB e BC sono consecutivi perché hanno in comune solo il punto B che è un estremo di entrambi; DE e FG non sono consecutivi perché hanno in comune solo il punto F ma esso non è estremo del segmento DE; HI e LM non sono consecutivi perché non hanno nessun punto in comune.

DEFINIZIONE. Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta.

I segmenti AB e BC sono adiacenti perché hanno in comune solo l’estremo B e giacciono sulla stessa retta; i segmenti DE e FG non sono adiacenti; i segmenti HI e LM non sono adiacenti.

Semipiani e angoli¶

DEFINIZIONE. Si dice semipiano di origine la retta r la figura formata dalla retta r e da una delle due parti in cui essa divide il piano.

In un piano $\pi$ , una qualsiasi retta $r \in \pi$ dà origine a due semipiani distinti, che si dicono semipiani opposti.

DEFINIZIONE. Una figura si dice convessa se, considerati due suoi qualsiasi punti, il segmento che li unisce è contenuto nella figura. Si dice concava se esistono almeno due punti per i quali il segmento che li unisce non è interamente contenuto nella figura.

La figura F è convessa, per qualsiasi coppia di punti interni a F il segmento che li unisce è interamente nella figura; la figura G è concava perché unendo i punti P e Q si ha un segmento che cade in parte esternamente alla figura.

DEFINIZIONE. Si dice angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi l’origine in comune; le semirette si dicono lati dell’angolo; l’origine comune alle due semirette si dice vertice dell’angolo.

Le semirette r e s, aventi l’origine V comune individuano due regioni del piano dette angolo.

DEFINIZIONEUn angolo si dice angolo piatto se i suoi lati sono uno il prolungamento dell’altro.

Un angolo si dice angolo nullo se è costituito solo da due semirette sovrapposte.

Si dice angolo giro l’angolo che ha per lati due semirette sovrapposte e che contiene tutti i punti del piano.

L’angolo $\widehat {a b }$ a sinistra è piatto, gli angoli a destra sono rispettivamente un angolo giro e un angolo nullo.

DEFINIZIONE. Un angolo, i cui lati non appartengono alla stessa retta, si dice concavo se contiene i prolungamenti dei lati, se non li contiene si dice convesso.

L’angolo concavo è quello punteggiato in quanto contiene i prolungamenti dei lati.

Quando si disegna un angolo è utile, oltre a disegnare le semirette e l’origine, indicare con un archetto quale dei due angoli si intende considerare.

Per indicare che l’angolo da considerare è quello convesso e non quello concavo si è usato un archetto in prossimità del vertice O.

Per indicare gli angoli si usano diverse convenzioni:

$\widehat {a b }$ se si conoscono i nomi delle semirette che ne costituiscono i lati;

$\widehat {A O B }$ se si conoscono i nomi del vertice e di due punti sui lati;

$\alpha$ $\beta$ $\gamma$ , ... una lettera greca per indicare direttamente l’angolo.

I primi due modi di indicare l’angolo non individuano con chiarezza di quale dei due angoli si tratta. Solitamente si intende l’angolo convesso, quando si vuole indicare l’angolo concavo bisogna dirlo esplicitamente.

Anche per gli angoli si danno le definizioni di angoli consecutivi e angoli adiacenti, in parte simili a quelle date per i segmenti.

DEFINIZIONE. Due angoli si dicono angoliconsecutivi se hanno il vertice e un lato comune e giacciono da parte opposta rispetto al lato comune.

Nella figura gli angoli $\widehat {a b }$ e $\widehat {b c }$ sono consecutivi perché hanno il vertice e il lato b in comune; $\widehat {a \text{ '} b \text{ '} }$ e $\widehat {b \text{ '} c \text{ '} }$ non sono consecutivi perché non hanno il vertice in comune; $\widehat {a \text{ ''} b \text{ ''} }$ e $\widehat {a \text{ ''} c \text{ ''} }$ non sono consecutivi perché non giacciono da parti opposte rispetto al lato in comune $a \text{ ''}$ .

DEFINIZIONE. Due angoli si dicono angoliadiacenti se sono consecutivi e se i lati non comuni giacciono sulla stessa retta.

I due angoli $\widehat {a b }$ e $\widehat {b c }$ sono adiacenti, perché sono consecutivi e i lati $a$ e $c$ sono uno il prolungamento dell’altro; i due angoli $\widehat {d e }$ ed $\widehat {e f }$ non sono adiacenti in quanto $d$ non è il prolungamento di $f$ ; gli angoli $\widehat {d e }$ e $\widehat {d f }$ sono adiacenti in quanto $f$ è il prolungamento di $e$ .

DEFINIZIONE. Due angoli convessi si dicono angoli opposti al vertice se i lati del primo sono i prolungamenti dei lati dell’altro.

Gli angoli formati dalle semirette a sinistra sono opposti al vertice; gli angoli formati dalle semirette a destra non lo sono.

Posizioni reciproche di semipiani¶

Siano $\pi \text{ '}$ e $\pi \text{ ''}$ due semipiani di un piano $\alpha$ , aventi per origine rispettivamente le rette $r \text{ '}$ e $r \text{ ''}$ . La loro unione e la loro intersezione danno luogo a figure diverse tra loro a seconda dei vari casi possibili.

1° caso $r \text{ '}$ e $r \text{ ''}$ sono incidenti in un punto $O$ . Allora l’intersezione dei due semipiani $\left( \pi \text{ '} \cap \pi \text{ ''} \right)$ è un angolo convesso di vertice $O$ , mentre la loro unione $\left( \pi \text{ '} \cup \pi \text{ ''} \right)$ è un angolo concavo di vertice $O$ .

Le due semirette $r \text{ '}$ e $r \text{ ''}$ , origini dei semipiani $\pi \text{ '}$ e $\pi \text{ ''}$ sono incidenti; in questo caso l’unione dei due semipiani è l’angolo concavo di colore grigio chiaro, la loro intersezione è l’angolo convesso di colore grigio scuro.

2° caso $r \text{ '}$ e $r \text{ ''}$ sono coincidenti, $\pi \text{ '}$ e $\pi \text{ ''}$ anch’essi coincidenti, cioè perfettamente sovrapposti. In questo caso particolare l’intersezione e l’unione dei due semipiani coincidono con gli semipiani $\left( \pi \text{ '} \cap \pi \text{ ''} = \pi \text{ '} \cup \pi \text{ ''} = \pi \text{ '} = \pi \text{ ''} \right)$ .

Osserva che un semipiano è anche un angolo piatto.

I due semipiani hanno la stessa retta di origine e sono anche coincidenti: la loro unione e la loro intersezione coincide con i semipiani stessi e formano lo stesso angolo piatto.

3° caso $r \text{ '}$ e $r \text{ ''}$ sono coincidenti, con $\pi \text{ '}$ e $\pi \text{ ''}$ distinti, e dunque opposti. In tal caso particolare l’intersezione dei due semipiani coincide con la retta origine in comune $\left( \pi \text{ '} \cap \pi \text{ ''} = r \text{ '} = r \text{ ''} \right)$ e l’unione di essi coincide con l’intero piano $\left( \pi \text{ '} \cup \pi \text{ ''} = \alpha \right)$ . Notiamo che un piano è anche un angolo giro.

Figura 33. I due semipiani hanno la stessa retta di origine e si trovano da parti opposte: la loro unione coincide con l’intero piano (angolo giro).

4° caso $r \text{ '}$ e $r \text{ ''}$ sono parallele e distinte, cioè non hanno punti in comune, ed inoltre $\pi \text{ '}$ non contiene $r \text{ ''}$ e $\pi \text{ ''}$ non contiene $r \text{ '}$ . In tal caso i due semipiani non hanno punti in comune, cioè la loro intersezione è vuota $\left( \pi \text{ '} \cap \pi \text{ ''} = \varnothing \right)$ mentre la loro unione è una parte “sconnessa” del piano $\alpha$ costituita da tutti i punti di $\alpha$ tranne la parte convessa delimitata dalle due semirette $r \text{ '}$ e $r \text{ ''}$ .

Figura 34. Le rette di origine sono parallele e distinte, i semipiani non hanno punti in comune, la loro unione è costituita dall’unione dei due angoli piatti indicati con un archetto grigio.

5° caso $r \text{ '}$ e $r \text{ ''}$ sono parallele e distinte, cioè non hanno punti in comune, ed inoltre $\pi \text{ '}$ contiene $r \text{ ''}$ e $\pi \text{ ''}$ non contiene $r \text{ '}$ (o viceversa). In tal caso l’intersezione dei due semipiani coincide con uno dei due semipiani e la loro unione coincide con l’altro semipiano $\left( \pi \text{ '} \cap \pi \text{ ''} = \pi \text{ ''} \right)$ e $\left( \pi \text{ '} \cup \pi \text{ ''} = \pi \text{ '} \right)$ o $\pi \text{ '} \cap \pi \text{ ''} = \pi \text{ '}$ e $\pi \text{ '} \cup \pi \text{ ''} = \pi \text{ ''}$ .

Figura 35. Le rette di origine sono parallele e distinte, uno dei due semipiani contiene l’altro; la loro unione è l’angolo piatto con lati sulla retta $r \text{ '}$ , la loro intersezione è l’angolo piatto con lati sulla retta $r \text{ ''}$

6° caso $r \text{ '}$ e $r \text{ ''}$ sono parallele e distinte, cioè non hanno punti in comune, ed inoltre $\pi \text{ '}$ contiene $r \text{ ''}$ e $\pi \text{ ''}$ contiene $r \text{ '}$ . In tal caso l’unione dei due semipiani è l’intero piano $\pi \text{ '} \cup \pi \text{ ''} = \alpha$ , mentre l’intersezione di essi è la parte (convessa) di $\alpha$ delimitata dalle due semirette $r \text{ '}$ e $r \text{ ''}$ . Tale intersezione $\pi \text{ '} \cap \pi \text{ ''}$ prende il nome di striscia di piano delimitata dalle rette $r \text{ '}$ e $r \text{ ''}$ che sono dette lati della striscia.

Figura 36. Le rette di origine sono parallele e distinte, ognuno dei due semipiani contiene l’altra retta, la loro unione è formata da tutto il piano, la loro intersezione forma una striscia di piano, delimitata dalle rette $r \text{ '}$ e $r \text{ ''}$ , dette lati della striscia.

Confronto e operazioni fra segmenti e angoli¶

Premessa intuitiva¶

Nel linguaggio comune usiamo la parola ‘uguale’ con un significato generico, spesso per indicare due oggetti che si assomigliano: due macchine uguali, due orologi uguali, … In aritmetica e in algebra usiamo la parola ‘uguale’ per indicare oggetti matematici perfettamente uguali. Per esempio, $2 = 2$ , ogni numero infatti è uguale solo a se stesso. Scriviamo anche $3 + 2 = 5$ , per dire che il numero che si ottiene dalla somma di $3$ e $2$ è proprio il numero $5$ . Nei polinomi si enuncia il principio di identità dei polinomi, in base al quale due polinomi sono uguali se si possono scrivere formalmente allo stesso modo.

In geometria, usiamo il termine ‘uguale’ per indicare due figure coincidenti nella forma e nella posizione. In altre parole due figure sono uguali solo se sono esattamente la stessa figura. Tuttavia, in geometria siamo interessati a studiare soprattutto figure che senza essere del tutto identiche hanno delle caratteristiche in comune. Vediamo prima degli esempi intuitivi e successivamente tratteremo lo stesso tema ma in modo formalmente corretto.

Le figure a lato hanno la stessa forma ma una è più grande dell’altra, la seconda infatti è stata ottenuta dalla prima raddoppiando i lati: in geometria si dicono simili.

Queste due altre figure non hanno la stessa forma, non si somigliano affatto, però le loro superfici hanno la stessa estensione, in quanto sono costituite dallo stesso numero di quadratini: in geometria si dicono equivalenti.

Le figure a lato hanno la stessa forma e le stesse dimensioni ma sono in posizioni differenti, è però possibile spostare una sull’altra senza deformarle e farle coincidere. Usualmente le chiamiamo figure uguali, in geometria si dicono congruenti.

Le due figure a lato hanno la stessa forma e le stesse dimensioni, per rendersene conto occorre ruotare per esempio la seconda figura in senso antiorario (si può ruotare anche in senso orario ma di un angolo maggiore) e poi trascinarla sulla prima per sovrapporla. Anche queste figure sono dette uguali nel linguaggio comune, in geometria si dicono congruenti.

Le due figure a lato hanno stessa forma e stesse dimensioni, tuttavia non si riesce a trasportare l’una sull’altra muovendole nel piano, né trascinandole, né ruotandole, occorre ribaltarne una facendola uscire dal piano; le due figure sono una l’immagine speculare dell’altra. In geometria, se due figure piane sono tali che, spostandone una senza deformarla, possono essere poste in maniera tale che una sia l’immagine speculare dell’altra, diciamo che sono inversamente congruenti.

Osserviamo i due segmenti AB e CD rappresentati nella figura che segue. I due segmenti sono sovrapponibili, e quindi congruenti, infatti basta fare scorrere il segmento CD lungo la retta fino a far coincidere C con A, il punto D coinciderà con B. Tuttavia, se portiamo D a coincidere con A dobbiamo poi ribaltare il segmento CD in modo che A coincida con D e B coincida con C.

Figura 42. I segmenti AB e CD sono direttamente congruenti in quanto si può far coincidere A con C e B con D semplicemente facendo scorrere lungo la retta un segmento sull’altro. Se invece vogliamo far coincidere A con D e B con C occorre ribaltare, uscendo fuori dalla retta, uno dei due segmenti.

Osserva che per ribaltare una figura occorre una dimensione in più, precisamente se si tratta di due figure piane occorre avere la terza dimensione per ribaltare una figura piana, se siamo su una retta occorre la seconda dimensione per ribaltare un segmento.

Per renderci conto di quanto accade con le figure solide, possiamo pensare ai palmi delle nostre mani che con buona approssimazione si possono considerare inversamente congruenti: esse possono essere giunte, ma non sovrapposte nel senso in cui si parla a proposito delle figure piane. Infatti non è possibile vedere le proprie mani, entrambe dal dorso o entrambe dal palmo, con le dita rivolte verso l’alto, in modo che in ciascuna di esse il pollice sia a sinistra oppure a destra.

La congruenza¶

Secondo il punto di vista del matematico tedesco Felix Klein (1848-1925), la geometria è lo studio delle proprietà delle figure che sono invarianti rispetto a certe trasformazioni. Nello studio della geometria euclidea, quella che tratteremo in questo Tema, ci occupiamo delle proprietà delle figure geometriche invarianti rispetto ai movimenti rigidi, cioè rispetto a quei movimenti che conservano forma e dimensioni delle figure. Queste trasformazioni vengono anche dette isometrie (si intuisce dalla radice etimologica che si parla di stessa misura): significa che viene stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti di due figure congruenti in modo da “mantenere” le distanze.

DEFINIZIONE. Diciamo che due figure $F$ e $G$ sono congruenti quando esiste un movimento rigido che le sovrappone perfettamente. In simboli $F \cong G$ .

Nella Premessa a questo paragrafo abbiamo dato un’idea intuitiva e sperimentale del concetto di congruenza. Ma per esplicitarlo matematicamente dobbiamo utilizzare gli assiomi di congruenza di Hilbert che abbiamo enunciato nel Capitolo 1 Paragrafo 2. Ne riportiamo alcuni per comodità del lettore.

Assiomi di congruenza¶

Assioma del trasporto di un segmento. Se $A$ , $B$ sono due punti di una retta a e $A \text{ '}$ è un punto sulla stessa retta o su un’altra retta $a \text{ '}$ , si può sempre trovare un punto $B \text{ '}$ sulla retta a o su $a \text{ '}$ , da una data parte rispetto ad $A \text{ '}$ , tale che il segmento $A B$ sia congruente al segmento $A \text{ '} B \text{ '}$ .

Questo assioma afferma che, fissato un punto $A \text{ '}$ su una retta $a \text{ '}$ , è sempre possibile trasportare un qualunque segmento $A B$ in modo che l’estremo $A$ coincida con $A \text{ '}$ e il segmento stia sulla retta $a \text{ '}$ .

La relazione di congruenza tra segmenti è transitiva, cioè se $A \text{ '} B \text{ '}$ e $A \text{ ''} B \text{ ''}$ sono congruenti ad $A B$ , allora $A \text{ '} B \text{ '}$ è congruente a $A \text{ ''} B \text{ ''}$ .

La relazione di congruenza tra segmenti è allora un relazione di equivalenza, in quanto gode delle proprietà:

riflessiva: ogni segmento è congruente a se stesso;

simmetrica: se $A B$ è congruente a $A \text{ '} B \text{ '}$ allora anche $A \text{ '} B \text{ '}$ è congruente ad $A B$ ;

transitiva: se $A B$ è congruente ad e $A \text{ '} B \text{ '}$ è $A \text{ '} B \text{ '}$ congruente ad , $A \text{ ''} B \text{ ''}$ allora $A B$ è congruente ad $A \text{ ''} B \text{ ''}$ .

DEFINIZIONE. Si dice lunghezza di un segmento la classe di equivalenza dei segmenti congruenti tra di loro, cioè l’insieme di tutti i segmenti che sono congruenti tra di loro.

Assioma del trasporto di un angolo. Dati un angolo $A \widehat {B } C$ ed una semiretta $B \text{ '} C \text{ '}$ , esistono e sono uniche due semirette $B \text{ '} D$ e $B \text{ '} E$ , tali che l’angolo $D \widehat {B \text{ '} } C \text{ '}$ è congruente all’angolo $A \widehat {B } C$ e l’angolo $E \widehat {B \text{ '} } C \text{ '}$ è congruente all’angolo $A \widehat {B } C$ .

Questo assioma ci garantisce che è sempre possibile trasportare un angolo $A \widehat {B } C$ su una qualsiasi semiretta s, facendo coincidere il vertice dell’angolo con l’origine della semiretta e un lato dell’angolo con la semiretta s.

La relazione di congruenza tra angoli è transitiva, cioè se $A \text{ '} \widehat {B \text{ '} } C \text{ '}$ e $A \text{ ''} \widehat {B \text{ ''} } C \text{ ''}$ sono congruenti ad $A \widehat {B } C$ , allora $A \text{ '} \widehat {B \text{ '} } C \text{ '} \equiv A \text{ ''} \widehat {B \text{ ''} } C \text{ ''}$ .

Quindi anche la relazione di congruenza tra gli angoli è una relazione di equivalenza, gode cioè delle proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva.

DEFINIZIONE. Si dice ampiezza di un angolo la classe di equivalenza degli angoli congruenti tra di loro, cioè l’insieme di tutti gli angoli che sono congruenti tra di loro.

Aggiungiamo che:

Tutte le rette sono fra loro congruenti;
Tutte le semirette sono fra loro congruenti;
Tutti i piani sono fra loro congruenti;

Confronto di segmenti¶

Per confrontare l’altezza di due persone e vedere chi è più alto, facciamo mettere affiancate le due persone in modo che i piedi stiano allo stesso livello, dopo di che confrontiamo l’estremità della testa: è più alto chi ha l’estremità della testa più in alto. Un procedimento analogo si fa per confrontare due segmenti.

Per confrontare due segmenti $A B$ e $C D$ , facciamo in modo che con un movimento rigido gli estremi $A$ e $C$ coincidano, con una rotazione intorno al punto A facciamo in modo che coincidano anche le rette $A B$ e $C D$ e che gli estremi $B$ e $D$ stiano dalla stessa parte rispetto ad $A$ e $C$ .

Confronto di due segmenti

A questo punto possono verificarsi tre situazioni possibili:

$B$ cade dopo l’estremo $D$ , allora diciamo che $A B$ è maggiore di $C D$ , scriviamo $A B > C D$ ;

$B$ cade esattamente su $D$ , allora i due segmenti sono congruenti;

$B$ cade tra $C$ e $D$ , allora diciamo che $A B$ è minore di $C D$ , scriviamo $A B < C D$ .

Confronto di angoli¶

Per confrontare due angoli $A \widehat {B } C$ e $D \widehat {E } F$ , portiamo con un movimento rigido il vertice $B$ sul vertice $E$ , con una rotazione portiamo a coincidere la semiretta $B A$ con la semiretta $E D$ , in modo che le altre due semirette, $B C$ e $E F$ , stiano dalla stessa parte rispetto a $B A$ .

Confronti di due angoli

A questo punto si possono avere tre situazioni distinte:

Il lato $E F$ cade internamente all’angolo $A \widehat {B } C$ , diciamo che $A \widehat {B } C > D \widehat {E } F$ ;

Il lato $E F$ cade esattamente su $B C$ , i due angoli sono congruenti;

Il lato $E F$ cade esternamente all’angolo $A \widehat {B } C$ , diciamo che $A \widehat {B } C < D \widehat {E } F$ .

Operazioni con i segmenti¶

Somma di due segmenti. La somma di due segmenti $A B$ e $C D$ è il segmento $A D$ che si ottiene trasportando con un movimento rigido il segmento $C D$ in modo che $A B$ e $C D$ siano adiacenti, con l’estremo $B$ coincidente con $C$ . Scriviamo $A B + C D = A D$ , usando l’usuale simbolo di addizione.

Il segmento $A D$ è la somma dei segmenti $A B$ e $C D$ .

Differenza di due segmenti. La differenza di due segmenti $A B$ e $C D$ , con $A B > C D$ , è il segmento $D B$ che si ottiene sovrapponendo $A B$ e $C D$ facendo coincidere l’estremo $A$ con l’estremo $C$ . Scriviamo $A B - C D = D B$

Il segmento $D B$ è la differenza tra i segmenti $A B$ e $C D$ .

Multiplo di un segmento. Il multiplo secondo $m$ , numero naturale diverso da zero, di un segmento $A B$ è il segmento $A C$ che si ottiene sommando $m$ volte il segmento $A B$ a se stesso.

In figura $A C \cong 3 A B$

Se $m = 0$ , il multiplo secondo m di qualsiasi segmento $A B$ è il segmento nullo, ove per segmento nullo intendiamo un qualsiasi segmento in cui gli estremi coincidono, cioè il segmento ridotto al solo punto $A$ .

Sottomultiplo di un segmento. Il sottomultiplo secondo $n$ , numero naturale diverso da $0$ , di un segmento $A B$ è un segmento $A C$ tale che $A B = n \cdot A C$ . Si può anche scrivere $A C = \frac{1 }{n } A B$ .

In generale il segmento $A C = \frac{m }{n } A B$ si ottiene dividendo $A B$ in $n$ parti uguali ottenendo il segmento $A D$ e poi sommando m segmenti congruenti ad $A D$ .

Il segmento $A C$ è congruente a $\frac{7 }{4 }$ di $A B$ , cioè $A C = \frac{7 }{4 } A B$ , infatti $A B$ è stato diviso in $4$ parti uguali e $A C$ è costituito da $7$ di queste parti.

Punto medio. Dato un segmento $A B$ esiste uno e uno solo punto $M$ che lo divide in due parti congruenti tra di loro, questo punto si dice punto medio del segmento.

M è il punto medio del segmento AB in quanto $A M \cong M B$ .

DEFINIZIONE. Si chiama punto medio di un segmento il punto interno al segmento che lo divide in due parti congruenti.

Proprietà

somme di segmenti a due a due congruenti sono congruenti;
differenze di segmenti a due a due congruenti sono congruenti.

Esempio

Siano $A B$ e $C D$ due segmenti congruenti appartenenti a una retta r che non abbiano punti in comune. Dimostra che $A D - B C = 2 A B$

Disponiamo i punti $A$ , $B$ , $C$ , $D$ su una retta $r$ come in figura.

Si ha che: $A D = A B + B C + C D$ ,

Allora $A D - B C = A B + B C + C D - B C = A B + C D$

Poiché $A B \cong C D$ allora $A B + C D \cong A B + A B = 2 \cdot A B$

Operazioni con gli angoli¶

Somma di angoli. La somma di due angoli consecutivi $A \widehat {O } B$ e $B \widehat {O } C$ è l’angolo $A \widehat {O } C$ . Per sommare due angoli che non sono consecutivi, per esempio $A \widehat {B } C$ e $D \widehat {E } F$ , si costruiscono due angoli consecutivi tra di loro, uno congruente a $A \widehat {B } C$ , l’altro congruente a $D \widehat {E } F$ , la somma di questi due angoli consecutivi si dice anche somma dei due angoli.

Differenza di angoli. Si dice differenza di due angoli, di cui il primo è maggiore o congruente al secondo, l’angolo che addizionato al secondo dà per somma il primo.

Angolo differenza $A \widehat {O } B - C \widehat {O \text{ '} } D \cong D \widehat {O } B$ .

Se i due angoli sono congruenti la loro differenza è l’angolo nullo.

Multiplo di un angolo. Dato un angolo $A \widehat {O } B$ e un numero n naturale non nullo, il multiplo di $A \widehat {O } B$ secondo $n$ (si può scrivere $n \cdot A \widehat {O } B$ ) è l’angolo che si ottiene sommando n angoli congruenti a $A \widehat {O } B$ . Se $n = 0$ , il multiplo secondo n di qualsiasi angolo $A \widehat {O } B$ è l’angolo nullo.

L’angolo $B \widehat {O } A$ è il quadruplo di $A \widehat {O } B$ , cioè $B \widehat {O } A \text{ '''} \cong 4 \cdot B \widehat {O } A$

Sottomultiplo di un angolo. Il sottomultiplo secondo $n$ , naturale non nullo, di un angolo $A \widehat {O } B$ è un angolo $A \widehat {O } C$ tale che $A \widehat {O } B = n \cdot A \widehat {O } C$ . Si può anche scrivere $A \widehat {O } C = \frac{1 }{n } \cdot A \widehat {O } B$ .

In generale un angolo $A \widehat {O } C = \frac{m }{n } \cdot A \widehat {O } B$ si ottiene dividendo $A \widehat {O } B$ in $n$ parti uguali ottenendo l’angolo $A \widehat {O } D$ , l’angolo $A \widehat {O } C$ si ottiene sommando $m$ angoli $A \widehat {O } D$ .

DEFINIZIONE. Si dice bisettrice di un angolo la semiretta che ha origine nel vertice dell’angolo e divide l’angolo in due angoli congruenti.

la semiretta $c$ di origine $O$ è la bisettrice dell’angolo $\widehat {a b }$ , gli angoli $\widehat {a c }$ e $\widehat {c b }$ sono congruenti.

Angoli particolari¶

Possiamo ora dare dei nomi ai seguenti angoli particolari.

Si dice angolo retto la metà di un angolo piatto.

Due angoli si dicono angoli complementari se la loro somma è un angolo retto.

Due angoli si dicono angoli supplementari se la loro somma è un angolo piatto.

Due angoli si dicono angoli esplementari se la loro somma è un angolo giro.

Un angolo si dice angolo acuto se è minore di un angolo retto.
Un angolo convesso si dice** angolo ottuso** se è maggiore di un angolo retto.

TEOREMA. Angoli opposti al vertice sono congruenti.

Ipotesi: $C \widehat {O } D$ è opposto al vertice di $B \widehat {O } A$

Tesi: $C \widehat {O } D \cong B \widehat {O } A$

Dimostrazione:

Gli angoli $A \widehat {O } B$ e $A \widehat {O } D$ sono angoli adiacenti dato che hanno un lato in comune e gli altri due lati sono l’uno il prolungamento dell’altro. Ma anche gli angoli $A \widehat {O } B$ e $A \widehat {O } D$ sono angoli adiacenti per lo stesso motivo. Quindi gli angoli $D \widehat {O } C$ e $A \widehat {O } B$ sono adiacenti allo stesso angolo $A \widehat {O } D$ .

Indicando con $\pi$ l’angolo piatto si ha: $D \widehat {O } C + A \widehat {O } D = \pi$ da cui $D \widehat {O } C = \pi - A \widehat {O } D$ . Analogamente $D \widehat {O } C + A \widehat {O } D = \pi$ da cui $A \widehat {O } B = \pi - A \widehat {O } D$ . Ne consegue che $D \widehat {O } C \cong A \widehat {O } B$ e cioè la tesi.

Prova tu a dimostrare il seguente teorema:

TEOREMA. Angoli supplementari di angoli congruenti sono congruenti.

Dopo aver realizzato il disegno, esplicita ipotesi e tesi. Segui poi il ragionamento del teorema precedente: se due angolo sono supplementari la loro somma è un angolo piatto...

Perpendicolari e altre definizioni

DEFINIZIONE. Due rette si dicono perpendicolari se sono incidenti e formano quattro angoli retti.

Le rette r e s sono perpendicolari, incontrandosi formano quattro angoli retti.

Per indicare che le due rette $r$ e $s$ sono perpendicolari si usa il simbolo $r \perp s$ .

DEFINIZIONE. Si dice distanza di un punto da una retta il segmento di perpendicolare condotta dal punto alla retta.

Il segmento $P H$ , appartenente alla perpendicolare a $r$ passante per $P$ , è la distanza di $P$ dalla retta $r$ .

DEFINIZIONE. Si dice asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento e passante per il punto medio del segmento.

La retta $r$ è l’asse del segmento $A B$ in quanto è perpendicolare alla retta per $A B$ e passa per il punto medio di $A B$ .

DEFINIZIONE. Due punti si dicono** punti simmetrici rispetto a una retta** se la retta è asse del segmento che ha per estremi i due punti.

Nella figura precedente, i punti $A$ e $B$ sono simmetrici rispetto alla retta $r$ .

Esercizi¶

Vero o falso?
1. Per un punto passa una sola retta.. tabVF
2. Per due punti passa una sola retta.. tabVF
3. Per tre punti passano almeno tre rette.. tabVF
4. Due punti distinti del piano individuano sempre un segmento.. tabVF
5. Due rette distinte del piano hanno al più un punto in comune.. tabVF
6. Tre punti distinti del piano individuano almeno tre rette.. tabVF
7. Due semirette distinte del piano che hanno la stessa origine sono opposte.. tabVF
8. Alcuni segmenti consecutivi non sono adiacenti.. tabVF
9. Due angoli che hanno il vertice in comune sono consecutivi.. tabVF
10. Per un punto del piano passano solo due rette.. tabVF
11. Due segmenti posti sulla stessa retta sono adiacenti.. tabVF
12. Due segmenti consecutivi hanno in comune un estremo e nessun altro punto.. tabVF
Due segmenti si dicono adiacenti se:
1. appartengono alla stessa retta
2. sono consecutivi ma non appartengono alla stessa retta
3. non sono consecutivi e appartengono alla stessa retta
4. sono consecutivi e appartengono alla stessa retta
5. appartengono alla stessa retta e hanno gli estremi coincidenti
Un angolo è convesso se:
1. è adiacente ad un altro angolo
2. i suoi lati sono rette incidenti
3. contiene il prolungamento dei suoi lati
4. è consecutivo ad un altro angolo
5. non contiene il prolungamento dei suoi lati
Due angoli si dicono opposti al vertice se:
1. sono sullo stesso piano
2. sono uno concavo e uno convesso
3. se hanno il vertice in comune
4. se i lati dell’uno sono contenuti nell’altro
5. se i lati dell’uno sono il prolungamento dei lati dell’altro
Quanti angoli individuano tre semirette aventi la stessa origine? Fai un disegno.
Rispondi a voce
1. Dai la definizione di angolo.
2. Qual è la differenza tra angolo piatto e angolo nullo? Fai riferimento alle definizioni e non al fatto che il primo misura 360° e il secondo 0°.
3. Qual è la differenza tra angoli consecutivi e angoli adiacenti?
Per ciascuna figura scrivi di che angolo si tratta relativamente agli angoli colorati in grigio, scegliendo i termini tra: angolo concavo, angoli adiacenti, angoli consecutivi, angoli opposti al vertice.
Rappresenta graficamente ciascuna delle seguenti situazioni:

$A \widehat {O } B \cup A \widehat {O } C = A \widehat {O } B$

$A \widehat {O } B \cap A \widehat {O } C = A \widehat {O } B$

$A \widehat {O } B \cap C \widehat {O } D = C \widehat {O } B$

$A \widehat {O } B \cup C \widehat {O } D = A \widehat {O } B$
Nella figura a fianco indica
1. Una coppia di segmenti consecutivi … …
2. Una coppia di segmenti adiacenti … …
3. Una coppia di rette incidenti … …
4. Una coppia di rette parallele … …
5. Una coppia di angoli consecutivi … … … …
6. Una coppia di angoli adiacenti … … … …
7. Una coppia di angoli opposti al vertice … … … ….
8. Un angolo concavo … …
9. Un angolo convesso … …
Sono convesse le figure
1. [ ] A, B, C, G
2. [ ] D, C, B, F
3. [ ] B, C, D
4. [ ] B, C
5. [ ] D, E, F, G
Scrivi per esteso in italiano quanto è indicato in simboli e rappresenta con un disegno tutti i casi possibili: $( P \in r ) \wedge ( P \in s ) \wedge ( Q \in r )$ .
Descrivi la costruzione della seguente figura, dove le rette c e d sono parallele
Siano a, b, c, d quattro semirette aventi l’origine in comune O disposte in ordine antiorario come in figura. Individua aiutandoti con il disegno quali sono gli angoli che si ottengono dalle seguenti operazioni:

$a \hat {O } d \cap d \hat {O } b$

$d \hat {O } c \cup c \hat {O } b$

$c \hat {O } b \cup c \hat {O } a$

$a \hat {O } d \cap d \hat {O } b$

$c \hat {O } a \cap d \hat {O } b$
Se P è centro di un fascio di rette e A è un punto dello stesso piano, è vero che “Nel fascio di centro P esiste una retta passante per A”?
Motiva la verità o la falsità della proposizione: “Tutte le rette incidenti formano 2 coppie di angoli opposti al vertice”.
Disegna una retta a e una retta b che si incontrano in un punto X, disegna anche una retta* c* che incontra la a in Y e la b in Z. Elenca tutte le semirette e tutti i segmenti che si vengono a formare.
Disegna due rette a e b parallele tra di loro; disegna poi la retta c che interseca la* a* in A e la b in B; disegna poi la retta d che interseca a in A e b in C. Quali segmenti si vengono a formare?
Rappresenta graficamente ciascuna delle seguenti situazioni:

$A \in r \wedge B \in r$ , $B \in s \wedge C \in s$ , $A \in t \wedge C \in t$

$AB \subset r$ , $CD \subset r$ , $AB \cap CD = AD$ , $AB \cup CD$ = . . . . . . . . . . . . ?

$AB \subset r$ , $CD \subset r$ , $AB \cap CD = \varnothing$ . $AB \cup CD$ = . . . . . . . . . . . . ?

$AB \subset r$ , $CD \subset s$ , $r \text{ //} s$ , $P \notin r \cup s$
Attribuisci il nome corretto a ciascuna coppia di segmenti: adiacenti, incidenti, disgiunti, consecutivi:
Su una retta r disegna i punti A e B, sapendo che A precede B, disegna i punti C e D sapendo che D è compreso tra A e B e C segue B. Indica tutti i segmenti che si vengono a formare.
Dati cinque punti nel piano, in modo che a tre a tre non siano allineati, quante rette passanti per due di questi punti è possibile tracciare? Completa il disegno. Sai esprimere il legame generale tra il numero N di punti e il numero di rette che si possono tracciare?
Completa la frase:Quando si parla di angolo acuto o di angolo ottuso, bisogna saper eseguire l’operazione di ............................. tra angoli e aver dato la definizione di ..……….............
Due angoli sono complementari e uno è doppio dell’altro. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
1. [ ] uno è retto e l’altro è piatto
2. [ ] uno è 1/3 dell’angolo retto e l’altro i 2/3 dell’angolo retto
3. [ ] uno è 1/3 dell’angolo retto e l’altro 1/6 dell’angolo retto .. tab
4. [ ] uno è 1/2 dell’angolo retto e l’altro è retto
5. [ ] uno è 2/3 dell’angolo retto e l’altro i 4/6 dell’angolo retto
Siano α e β due angoli consecutivi esplementari e siano a e b le loro bisettrici. L’angolo tra a e b è

[ ] Piatto[ ] Retto[ ] Nullo[ ] Non si può sapere
Se α e β sono due angoli di vertice O, consecutivi e complementari e a e b le loro bisettrici, allora per l’angolo $a \hat {O } b$ si può dire che:
1. [ ] è uguale all’angolo retto
2. [ ] è la terza parte di un angolo retto
3. [ ] è la metà di un angolo retto
4. [ ] è la quarta parte di un angolo retto
5. [ ] non è possibile determinarne l’ampiezza
Le bisettrici di due angoli adiacenti:
1. [ ] sono parallele
2. [ ] sono lati di un angolo retto
3. [ ] sono lati di un angolo concavo
4. [ ] coincidono
5. [ ] sono semirette opposte
Due angoli si dicono complementari quando:
1. [ ] sono consecutivi
2. [ ] sono angoli opposti al vertice
3. [ ] la loro somma è un angolo retto
4. [ ] ciascuno di essi è acuto
5. [ ] ciascuno è la metà di un angolo retto
Dati due segmenti adiacenti AB e BC tali che $AB \cong \frac{1 }{3 } BC$ , allora per $AC = AB + BC$ si può dire:
1. [ ] $AC \cong \frac{1 }{4 } BC$
2. [ ] $AC \cong 3 BC$
3. [ ] $AC \cong 2 BC$
4. [ ] $AC \cong \frac{1 }{2 } BC$
5. [ ] $AC \cong \frac{4 }{3 } BC$
Due segmenti AB e CD appartengono alla stessa retta e hanno lo stesso punto medio. Si può affermare:
1. [ ] $AB \cong CD$
2. [ ] $AC \cong CD$
3. [ ] $DB \cong DC$
4. [ ] $AC \cong BD$
5. [ ] $AC \cong AB$
Per ciascuna delle affermazioni seguenti, dire se è vera o falsa, e spiegare perché
1. l’angolo retto è la metà dell’angolo giro.. tabV F
2. ogni angolo convesso ha due bisettrici.. tabV F
3. due angoli che hanno in comune il vertice sono consecutivi.. tabV F
4. un angolo ottuso è maggiore di qualunque angolo acuto.. tabV F
5. sommando due angoli acuti si può ottenere un angolo piatto.. tabV F
Tre semirette a, b, c uscenti da uno stesso punto dividono il piano in tre angoli congruenti. Dopo aver rappresentato le semirette, traccia la semiretta b1 opposta di b. Allora:
1. [ ] b1 è perpendicolare alla semiretta a
2. [ ] b1 è bisettrice dell’angolo formato da a e c
3. [ ] b1 è perpendicolare alla semiretta c
Dato l’angolo acuto $A \hat {O } B$ , sia OC la sua bisettrice. Sia poi OD una semiretta esterna all’angolo come in figura, quale relazione è vera?
1. [ ] $C \widehat {OB } \cong \frac{1 }{2 } ( D \widehat {O } A - D \widehat {O } B )$
2. [ ] $C \widehat {OB } = ( A \widehat {O } D - A \widehat {O } B )$
3. [ ] $C \widehat {OB } = ( B \widehat {O } D - C \widehat {O } B )$
4. [ ] $C \widehat {OB } \cong \frac{1 }{2 } ( D \widehat {O } A + D \widehat {O } B )$
Individua tra i seguenti angoli quello piatto, retto, acuto, ottuso, concavo, scrivi nelle etichette il relativo nome. Per ciascuno di essi traccia la bisettrice.
Vero/Falso
1. Sommando due angoli acuti si ottiene sempre un angolo acuto.. tabVF
2. Sommando due angoli piatti si ottiene un angolo giro.. tabVF
3. Sommando un angolo acuto e uno retto si ottiene un angolo ottuso.. tabVF
4. Sommando due angoli retti si ottiene un angolo giro.. tabVF
5. Sommando un angolo piatto e un angolo acuto si ottiene un angolo concavo.. tabVF
6. Sommando due angoli convessi si ottiene sempre un angolo convesso.. tabVF
7. Sommando un angolo retto e un angolo piatto si ottiene un angolo giro.. tabVF
Individua l’angolo:
1. La differenza tra un angolo piatto è un angolo retto è un angolo ………………
2. La differenza tra un angolo giro e un angolo piatto è un angolo ………………
3. La differenza tra un angolo acuto e un angolo retto è un angolo ………………
4. La differenza tra un angolo giro e un angolo piatto è un angolo ………………
5. Il doppio di un angolo piatto è un angolo ………………
6. Il doppio di un angolo retto è un angolo………………
Spiega perché se due angoli sono complementari i loro doppi sono supplementari.
Verifica, aiutandoti con un disegno, che se $\hat {A } \cong \hat {B } \text{ e } \hat {C } < \hat {D } \text{ allora } \hat {A } + \hat {C } < \hat {B } + \hat {D }$ .
Dati quattro segmenti AB>BC>CD>DE. Verifica, aiutandoti con dei disegni, che:
1. AB-CD > BC-CD
2. AB+DE>BC+CD
Un angolo α è retto e un angolo β è la sesta parte di un angolo piatto. A quale frazione di angolo retto corrisponde la somma α+β?
Disegnare due angoli consecutivi α e β, disegnale l’angolo γ adiacente a α non contenente β e l’angolo δ adiacente a β non contenente α. Gli angoli γ+δ e α+β sono:

[ ] complementari.. tab[ ] supplementari.. tab[ ] opposti al vertice.. tab[ ] esplementari